John Wallis

John Wallis nació en Ashford, en la provincia de Kent, a principios del siglo XVII, y vivió hasta la primera década del XVIII en Oxford. Durante su vida, dejó una huella indeleble en las matemáticas inglesas y, a la vez, ejerció roles clave en la esfera intelectual de su tiempo: fue precursor del cálculo moderno, innovador en la notación de potencias y figura destacada en la formación de la Royal Society. Su trayectoria mezcla ciencia, educación y servicio público, con una curiosa aproximación a la criptografía y a la pedagogía para sordomudos.

John Wallis nació en Ashford, en la provincia de Kent, a principios del siglo XVII, y vivió hasta la primera década del XVIII en Oxford. Durante su vida, dejó una huella indeleble en las matemáticas inglesas y, a la vez, ejerció roles clave en la esfera intelectual de su tiempo: fue precursor del cálculo moderno, innovador en la notación de potencias y figura destacada en la formación de la Royal Society. Su trayectoria mezcla ciencia, educación y servicio público, con una curiosa aproximación a la criptografía y a la pedagogía para sordomudos.

Biografía

Nacido en una familia de origen clerical, Wallis fue el tercero de cinco hijos del reverendo John Wallis y de Joanna Chapman. Su educación inicial transcurrió en la escuela de su localidad, pero a causa de la peste juvenil hubo de trasladarse a la escuela de James Movat en Tenterden para completar su formación. En 1631 recibió sus primeros contactos formales con las matemáticas en la escuela de Felsted, donde ya mostró un gusto persistente por el tema, aunque su avance no fue rectilíneo y se percibía una visión de las matemáticas de la época que solía verse como una disciplina más mecánica que académica.

Con la mira puesta en un doctorado, en 1632 ingresó en el Emmanuel College de Cambridge. En aquel entorno defendió un argumento sobre la circulación de la sangre, lo que se considera uno de los primeros debates europeos en torno a esa teoría. Aun cuando su interés principal seguía vinculado a las matemáticas, obtuvo la licenciatura en Artes en 1637 y la maestría en 1640; más tarde se ordenó como clérigo. En 1644 recibió una beca para estudiar en Queen’s College, Cambridge, y contrajo matrimonio con Susana Glyde el 14 de marzo de 1645, sin que ello mermara sus planes académicos.

Durante ese periodo, Wallis colaboró estrechamente con corrientes puritanas y prestó ayuda para desencriptar mensajes de las monarquías, si bien la calidad de los métodos criptográficos de la época variaba notablemente. Su labor no solo consistió en descifrar, sino también en perfeccionar enfoques que podían convertir la criptoanálisis en una disciplina más robusta; desarrolló técnicas que, en algunos casos, transformaron la seguridad de los sistemas de cifrado al introducir conceptos que hoy entenderíamos como claves dinámicas y métodos más estructurados.

Wallis, ya de regreso a Londres, se vinculó a la comunidad científica que, poco después, daría origen a la Royal Society. En ese periodo dominó en relatively poco tiempo la obra clave de William Oughtred, Clavis Mathematicae, y empezó a escribir tratados que abrían un abanico de temas dentro de la matemática cercana a la geometría, la trigonometría, el cálculo y el análisis de las series infinitas. A lo largo de su vida, su labor abarcó además la teología, la lógica, la gramática inglesa y la filosofía, mostrando un perfil intelectual polifacético que trascendía las fronteras de una disciplina única.

En el terreno institucional, Wallis tuvo un papel político y teórico durante el tumulto de la década de 1640. Apoyó una postura puritana moderada que se enfrentó a la ejecución del rey Carlos I, lo que le granjeó la enemistad de sectores independentistas de la época. A pesar de estas tensiones, fue propuesto en 1649 para ocupar la Cátedra Saviliana de geometría en la Universidad de Oxford, una distinción que lo situó en un papel destacado dentro de la academia y que lo acompañó hasta su muerte, ocurrida en 1703. Sus intereses académicos se manifestaron también en su labor didáctica y en la apertura de nuevas líneas de investigación que marcaron época.

Un rasgo particular de su trayectoria fue su compromiso con la educación de los sordomudos, adelantándose a su tiempo al proponer un sistema de enseñanza inspirado en métodos prácticos extranjeros, en especial los de Bonet. Este empeño social contrastó con su producción matemática y teológica, mostrando que su labor abarcaba tanto la precisión de las fórmulas como la alfabetización de comunidades con dificultades de comunicación.

Matemáticas

En el terreno teórico, Wallis llevó a cabo avances significativos en la definición y tratamiento de las curvas con secciones cónicas, publicando en 1655 un estudio en el que aborda estas curvas desde una perspectiva analítica y las identifica como curvas de segundo grado. Este trabajo inauguró un marco en el que las secciones cónicas quedaron definidas de manera más clara y operativa, alejándose de enfoques puramente geométricos y dialogando con las herramientas del álgebra emergente.

El libro crucial de Wallis, Arithmetica Infinitorum, apareció en 1656 y se convirtió en su obra señera. En él consolidó y amplió las técnicas desarrolladas por Descartes y Cavalieri, introduciendo una notación estandarizada para las potencias que abarcaba desde las potencias positivas de x hasta los enteros, fraccionarios y racionales. Este sistema de notación que popularizó permitió una mayor agilidad en la manipulación algebraica y sentó las bases para gestar un lenguaje más homogéneo en el análisis algebraico.

Con respecto al cálculo, Wallis exploró el tratamiento de potencias y desarrolló una forma de traducir operaciones entre enteros y racionales, extendiendo progresivamente la notación para incluir exponentes que permitían describir magnitudes cada vez más complejas. En este marco, propuso una interpretación que conectaba el área bajo ciertas curvas con expresiones constantes que décadas después se entenderían como herramientas del cálculo integral, aunque no se presentara con el mismo lenguaje que se adoptaría en el siglo XVIII. Su visión conectó la geometría analítica con la idea de que las áreas podían entenderse a través de potencias y sumas infinitas.

En su libro más influyente, Wallis mostró que era posible obtener resultados análogos para cualquier curva representada por ordenadas que admitieran expresarse mediante potencias de la variable independiente. Su afirmación central era que el área encerrada entre esa curva y unas abscisas fijadas, podía relacionarse con otras magnitudes geométricas de base y altura iguales. Aunque el caso de la parábola fue el que logró demostrar con claridad, dejó entrever que también se podía extender el razonamiento a curvas más generales de la forma y = x^m, donde m es un número positivo o negativo, siempre que se mantuviera una estructura adecuada para el análisis.

Sobre los límites de este enfoque, Wallis elaboró un razonamiento que permitía calcular el área entre la curva y el eje de las ordenadas, o entre la curva y una recta vertical, a través de relaciones con figuras simples como el paralelogramo de la misma base y altura. En este marco, propuso fórmulas que, en su forma original, podrían parecer paradójicas para la época, pero que anticipaban ideas que hoy identificaríamos como relaciones entre áreas y proporciones geométricas. Su intuición lo llevó a plantear que estas áreas podían generalizarse para diversas curvas, aunque sólo se lograría demostrar de forma rigurosa para la parábola.

La influencia sobre la técnica de integración quedó alterada por su limitado dominio del binomio, ya que no consiguió emplear ese teorema de forma directa para la intervención numérica de la circunferencia. Aun así, dejó un importante germen: el concepto de interpolación, que más tarde otros científicos utilizarían para aproximar valores y construir métodos numéricos de estimación de áreas y longitudes de curvas. Este legado, junto con su enfoque en la geometría y el álgebra, consolidó un camino de transición entre la matemática clásica y las metodologías que se consolidarían en la era de Newton.

En su análisis de las curvas, Wallis logró plantear que para una familia de curvas del tipo y = x^ (1/m), el área comprendida entre la curva y el eje de las x en un intervalo determinado estaba gobernada por una relación que dependía del exponente m. Demostró, para el caso de la parábola (m = 2), que la relación entre el área y la base era constante, y sostuvo de manera general que la misma intuición podría aplicarse a otras curvas de la forma y = x^(p/q). Aunque no llevó a cabo una demostración exhaustiva para todos los exponentes, su intento abrió el camino para explorar curvas más complejas mediante el uso de potencias y exponentes racionales.

Sobre la rectificación de curvas, Wallis exploró soluciones para rectificar curvas o calcular su longitud mediante métodos que, si bien no resultaron en una regla universal, sí ofrecieron procedimientos que, en conjunto con las contribuciones de otros matemáticos, impulsaron el estudio de la longitud de curvas. Entre sus logros, se cuentan aportes a la teoría de la colisión de cuerpos en colaboración con otros sabios de la Royal Society, donde la conservación del momento lineal permitió explicar ciertos aspectos de los impactos, incluso cuando se contemplaban tanto colisiones elásticas como inelásticas. Este enfoque metodológico sirvió para articular una visión más amplia de la dinámica y la cinemática en el contexto de la física emergente de la época.

Otra atmósfera de su obra aparece cuando Wallis aborda la resolución de problemas algebraicos complejos y la extensión de técnicas a casos concretos como las parábolas y las hipérbolas, así como la exploración de la geometría analítica conceptual. Su tratado Algebra, publicado en 1685, contiene un prólogo que sitúa el desarrollo histórico de la disciplina y acumula una gran cantidad de información valiosa. En su segunda edición, aparecida en 1693 dentro de la colección Opera, el libro se amplió notablemente y se convirtió en una obra de referencia para los estudios de álgebra. Este volumen es especialmente relevante porque incluye el primer uso sistemático de fórmulas para expresar relaciones algebraicas, un hito que marcaría el camino hacia la formalización de la notación y las reglas de manipulación de símbolos.

Sobre su concepción de la cantidad, Wallis mostró una postura singular respecto al concepto de números negativos y positivos. A diferencia de la apreciación moderna, aceptaba que un número negativo podía representar una magnitud por debajo de cero, o en su visión menos ortodoxa, consideraba que la noción de lo “menos que nada” no era aceptable, pero veía al infinito como una posibilidad más amplia de magnitud. Aunque esta visión resultó controversial, se le reconoce como el impulsor de la Recta de números enteros, una idea que permitió representar, de forma geométrica, las magnitudes positivas y negativas a partir de un origen y con direcciones opuestas a cada lado.

En Opera Mathematica I se introdujo el término fracción continua, una influencia que más tarde tuvo resonancia en el trabajo de Brouncker y otros matemáticos. Esta contribución marcó un hito en la historia de los métodos de aproximación y de la representación de números mediante progresiones continuas, fortaleciendo la interconexión entre álgebra y teoría de números.

Obras

• Arithmetica infinitorum, Oxford, 1656
• Opera, 1670-1671
• Treatise of Algebra, Londres, 1685
• Mathesis Universalis, Oxford, 1685
• De sectionibus conicis
• Operum mathematicorum pars prima, Oxford, 1657
• Tractatus Prœmialis. De loquela, sive Literarum omnium Formatione & genuino Sono, Oxford, Leon Lichfield, 1653
• Grammatica Linguae Anglicanae, Oxford, Leon Lichfield, 1653
• La carta de Wallis a Robert Boyle, Philosophical Transactions, 1670
• La carta de Wallis a Mr Thomas Beverly, Philosophical Transactions, 1698
• Tres reediciones de la parte fonética (1721, Königsberg, 1727 y 1740, Leiden), acompañando el Tratado de Johann Conrad Amman Surdus loquens